ラスカルの備忘録

ー 経済概観、読書記録等 ー

シルヴィア・ナサー『ビューティフル・マインド 天才数学者の絶望と奇跡』

ビューティフル・マインド: 天才数学者の絶望と奇跡 (新潮文庫)

ビューティフル・マインド: 天才数学者の絶望と奇跡 (新潮文庫)

1994年のノーベル経済学賞を受賞した数学者、ジョン・フォーブス・ナッシュJrの半生を描いた大作。2001年には本作が原作となり映画化され、アカデミー賞を四部門で受賞している。ナッシュについては、2015年のアーベル賞受賞直後に自動車事故に合い、妻のアリシアとともに亡くなったことが記憶に新しい*1。本稿の筆者は映画『ビューティフル・マインド』を見ておらず、ナッシュについては、統合失調症を患った悲劇の数学者であること、ゲーム理論の「ナッシュ均衡」にその名を残していること程度の知識しか持ち得ていなかった。本書を読み、ほぼ初めてこの数学者の全貌を知ったことになる。
本書を通じナッシュの業績を見渡してみると、その世に知られるきっかけとなったゲーム理論以上に微分幾何学における実績が大きく、ウィキペディアにも「専門分野は微分幾何学でありリーマン多様体の研究に関して大きな功績を残している」とある。また、2015年のアーベル賞受賞の理由は「非線形偏微分方程式論とその幾何解析への応用に関する貢献」である。本書では、直感的に課題を見出し多彩な分野に足跡を残す天才型の数学者として描かれている。その一方、ローウェル・パトナム数学競技会というアメリカの大学生を対象とした有名な数学競技会において成績優秀者上位5名から漏れたことに屈辱を感じ、そのことが、その後の彼の人生にも影響したことを窺わせている。結果的にノーベル経済学賞を受賞することとなるが、統合失調症を発症する前は、権威ある賞や職業的威信を極めて貧欲に求めている。プリンストン大学の大学院生時代から、自分の天才を認めてもらいたがる一方、他の数学者を軽蔑、嘲笑するなど、人間的には傍若な性格であったともされている。

フォン・ノイマン(およびモルゲンシュテルン)による『ゲームの理論と経済行動』は、その名声を高め、後の経済学を再構築する試みとなるが、ナッシュは、この本は数学的に革新的だといってもミニマックス定理以外は新しい定理を含んでいないことに忽ち気付き、経済学の理論自体にも顕著な進展をもたらしていないと考えたという。ナッシュは、交渉する二人の人間が合理的であるなら、それぞれが相手にどのように働きかけるかを予測するという斬新なアプローチを試みる。これは公理的アプローチと呼ばれるもので、ナッシュは、このアプローチを初めて社会科学の問題に適用した。

ナッシュはあらゆる解、つまり満足な分配をするのは、どのような合理的条件においてであるかという問いからスタートする。そして四つの条件*2を示し、創意に富んだ数学的論証によってーー自分の示す公理を是認するならーー各プレイヤーの効用最大化を図る解が一意に存在し得ることを明らかにした*3。ある意味でナッシュの功績は、問題を「解く」というより、解が一意に存在することを単純かつ明確に示したことにあると言えるだろう。

ナッシュは、多数のプレイヤーが参加するゲームにも、複数の戦略が許容される限り、少なくとも一つの均衡点が存在することを証明した。均衡という状態について、ナッシュはどのプレイヤーも他の可能な戦略を選択しても自分の立場を改善できない状況と定義している*4。各個人にとっての最善の選択が、社会的に最適な結果をもたらすとは限らない*5。多くの均衡点を持つゲームもあるし、均衡点を一つも持たないゲームもないわけではない。ただし、このようにナッシュの定義を逸脱するのは全く特例的なケースに過ぎない。

ナッシュのゲーム理論における貢献は1950年のランド研究所におけるものが最期であり、その後は幾何学の分野での業績を求め、実代数多様体とコンパクトな可微分多様体の間を関連づける「驚嘆に値する」定理を見出した。

ナッシュの場合、このような発見はたいていかなり早い時期になされ、あとから困難な証明をする、という順序をたどった。彼は、いつも事前に解答を見出し、そこからさかのぼってその正しさを証明するタイプの人間なのだ。一つの問題を思い巡らす。すると、ある時点で直感がひらめき、求めている解のヴィジョンが見えてくる。交渉問題の時もそうだが、この直感はふつうは問題を追究し出すと間もなくひらめく。そのあと一定の論理的手順を踏むという長い苦闘を経て、やがてその直感が正しい、という結論へ到達する。リーマン、ポワンカレ、ウィーナーといったすぐれた数学者たちも、このような方法で考えた。

しかしナッシュはプリンストン大学から講師として招聘されなかった。このことはナッシュに大きな打撃を与える。ノーベル経済学賞受賞の場面もそうだが、本書の素晴らしいところは、こうした選考過程について、関係者からの丹念な聞き取りにもとづき生き生きと描写されているところにある。ナッシュはその後MITから講師として迎えられるが、そこで彼の最も偉大な業績である「コンパクトで滑らかなk次元可微分多様体は、2k+1次元ユークリッド空間に埋め込むことが可能*6である」という定理を証明する。この問題に取り組むにあたり、ナッシュは事前に、その問題が大きな栄光をもたらしてくれるものなのかを十分に確認している。

ここまでがナッシュの栄光についての物語であるとすれば、その後は統合失調症へと至る私的生活と数学上の研究過程についての物語となる。結婚後、ニューヨークのクーラント数学研究所において非線形偏微分方程式の研究を進め、独特の新手法を編み出すことで実績を作り、即座に注目を集める。この時はフィールズ賞受賞の可能性もあったようだが、結果的に、ナッシュの名は最終選考に残ることがなかった。求めるような栄光が得られず、加齢による想像力低下にも恐れを感じる中、いわゆるミレニアム問題の中で最も世に知られた「リーマン予想」に関わるようになる。リーマン予想は、今でも多くの数学者がその人生をかけて取り組み、一生を狂わされかねない巨大な難問であるが、ナッシュもまたこの問題に取り組んだことをきっかけとして、統合失調症への一歩を進めた可能性がある*7
統合失調症の発症からノーベル経済学賞受賞という栄光を得るまでの「失われた歳月」は30年を超える。40歳の頃、ロアノークで独り過ごすナッシュの姿は極めて哀れなものである。息子のチャールズも数学者としてのキャリアをスタートさせるが、父親と同様、統合失調症を発症することとなる。

上述の通り、ノーベル経済学賞の選考過程については丸まる一章を費やし綿密に描写されるが、それだけの価値ある大きなドラマがあったようである。本書には、ナッシュと関係があった人物の思いや動機などが丁寧に描かれており、登場人物も数学者、 物理学者、経済学者の何れをとっても、どこかでその名を聞いたことがあるような一流の人々である。このことが、本書の価値を際立たせ、類書との差別化を可能にしている。
ふと感じるのは、既に世に忘れられた存在であったナッシュが最終的に自ら望んだ栄光を手にすることができた背景には、関係者それぞれの思いがあり、幾人かの人たちがその手を差し伸べてくれたことがあった、ということである。一方で、そうした助けが功を奏せず、時代に埋もれてしまった天才たちの存在もあるのだろう。時代や社会というものの大きさに比べれば、人間の存在などいかに小さなものだろうか。

*1: https://www.weekly-economist.com/2015/06/16/追悼-ゲーム理論の天才-ジョン-ナッシュ氏死去/

*2:正アフィン変換からの独立性、対称性、妥結点のパレート最適性、無関連な代替案からの独立性。

*3:ナッシュ交渉解。

*4:2人ゲームの場合、第2プレイヤーがyをとるなら第1プレイヤーはxを、第1プレイヤーがxをとるなら第2プレイヤーはyをとるのが一番良い戦略となる場合の戦略の組(x、y)がナッシュ均衡となる。

*5:例えば、囚人のジレンマ

*6:当該可微分多様体微分同相な部分多様体 V\subseteq \mathbf{R}^{2k+1}が存在。

*7:一方で、量子論を修正する「計画」を実行に移したことが自分の精神病の引き金となったとするナッシュ自身の発言もあるようである。